由定理 2.2.1, 只需证 $\Bqty{X_n, n \ge 1}$ 独立同分布 $E(\lambda)$.

再由定理 2.2.3 的证明过程, 只需证对于 $G(x) = 1 - F(x)$, 有 $G(x + s) = G(x) G(s)$.

由题意, 注意到

利用条件概率与全概率的公式, 得

代入前式并化简, 得

从而得证.